kabobo.ru Перевод с англ. Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина
страница 1 страница 2 страница 3 страница 4
[1]
РОБЕРТ СТОЛЛ
МНОЖЕСТВА. ЛОГИКА.

АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ


Перевод с англ. Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина.

Под редакцией Ю. А. Шихановича

М. Просвещение. 1968
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................................................................................6
Глава I. Множества и отношения
1.1. Канторовское понятие множества......................................................11

1.2. Основные принципы интуитивной теории множеств ......................13

1.3. Включение.............................................................................................20

1.4. Операции над множествами................................................................23

1.5. Алгебра множеств................................................................................28

1.6. Отношения............................................................................................37

1.7. Отношения эквивалентности ............................................................ 43

1.8. Функции............................................................................................... 49

1.9. Композиция и обращение функций................................................... 55

1.10. Отношения порядка........................................................................... 61


Глава II. Логика
[3]
2.1. Исчисление высказываний. Сентенциональные связкиЎKЎK.......... 72

2.2. Исчисление высказываний. Истинностные таблицы....................... 76

2.3. Исчисление высказываний. Общезначимость.................................. 81

2.4. Исчисление высказываний. Логическое следствиеЎKЎKЎK............. 93

2.5. Исчисление высказываний. Приложения....................................... 101

2.6. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка............. 108

2.7. Исчисление предикатов. Общая формулировка............................. 116

2.8. Исчисление предикатов. Общезначимость..................................... 122

2.9. Исчисление предикатов. Логическое следствие............................ 133
Глава III. Аксиоматические теории
3.1. Понятие аксиоматической теории ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...................139

3.2. Неформальная аксиоматика..............................................................145

3.3. Неформальные теории в рамках теории множеств.........................152

3.4. Дальнейшие свойства неформальных теорий.................................155

3.5. Формальные аксиоматические теорииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.................165

3.6. Исчисление высказываний как формальная

аксиоматическая теорияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK167

3.7. Исчисление предикатов как формальная

аксиоматическая теория .......................................................................... 173

3.8. Аксиоматические теории первого порядка......................................176

3.9. Метаматематика.................................................................................183
Глава IV. Булевы алгебры
4.1. Определение булевой алгебры......................................................... 191

4.2. Некоторые основные свойства булевых алгебр............................. 194

4.3. Другая формулировка теории.......................................................... 198

4.4. Отношения конгруэнтности для булевых алгебр.......................... 203

4.5. Представления булевых алгебр....................................................... 211

4.6. Исчисления высказываний как булевы алгебры ЎKЎKЎK............... 217

4.7. Свободные булевы алгебры............................................................. 218
Указатель символовЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..............................223

Указатель терминов..................................................................................225

Указатель имен..........................................................................................231
[6]
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книжка была задумана как учебник для полугодового курса и как справочное издание. Ее содержание примыкает к той части математики, которую принято называть основаниями. Термин «основания математики» для разных людей имеет различный смысл. Что касается меня, то я понимаю под основаниями математики анализ основных математических понятий, проводимый с целью подготовки к изучению всего основанного на них здания математики с некоторой общей и единой точки зрения. Надеюсь, что материал этой книги сможет оказаться полезным для нескольких групп читателей. К одной из таких групп относятся те, кто желает, будучи студентами старших курсов, изучить некоторые разделы абстрактной математики. Другая группа (если только она отличается от первой) ЎЄ это будущие преподаватели математики в высшей школе. Еще одна группа читателей ЎЄ преподаватели математики средней школы. Наконец, я надеюсь, что большая часть этой книги может оказаться небесполезной для способных студентов, начинающих испытывать вкус к математике. Постараюсь подтвердить сказанное.

Во многих опубликованных за последние годы учебниках, вводящих в те или иные абстрактные разделы математики, имеется особая «глава О», посвященная краткому обзору понятий, нужных для понимания дальнейшего материала. Для студентов, впервые сталкивающихся с этими вопросами, такая вводная глава зачастую представляет трудность. Глава I настоящей книги представляет собой расширенный вариант подобной «главы 0», снабженный примерами и упражнениями.1 Эта глава ЎЄ вместе с первыми четырьмя параграфами главы III, посвященными понятию аксиоматической теории, с которым ежедневно сталкивается каждый математик,ЎЄ должна способствовать преодолению разрыва между первона-


[7]
чальньми представлениями студентов о математике как о вычислительной теории и абстрактной природой более глубоких и более современных ее разделов. Так, я полагаю, овладение материалом главы I и первой половины главы III позволит студенту, приступающему к изучению курса топологии, начать прямо с топологических понятий, а слушающему начальный курс абстрактной алгебры ЎЄ с алгебраических понятий, не тратя времени на предварительное обсуждение понятий множества, функции, отношения порядка и т. п. Конечно, тот, кто преподает математику в высшей школе, хорошо знаком с этими понятиями. Но вполне может оказаться, что современное состояние предмета и современная терминология знакомы такому преподавателю уже не столь хорошо. Насколько такое близкое знакомство может оказаться важным, известно тем, кому приходится читать статьи в современных математических журналах, хотя бы в Mathematics Teacher, или готовиться к чтению какого-нибудь курса повышенного типа, или только разбираться в уже существующих новых разделах математической программы.

Глава II посвящена символической логике. В ней подробно излагается простейшая часть традиционной проблематики этой дисциплины ЎЄ исчисление высказываний. Узкое исчисление предикатов, небольшим фрагментом которого служит исчисление высказываний, рассматривается уже довольно бегло. Однако достаточно основательное рассмотрение исчисления высказываний позволит читателю, который при изучении исчисления предикатов будет следовать образцам рассуждений, характерных для исчисления высказываний, добиться удовлетворительного понимания даже бегло освещаемых вопросов исчисления предикатов. Такая степень обстоятельности изложения символической логики, по-видимому, для большинства читателей будет достаточна. В то же время излагаемый минимум сведений не выходит за пределы того, чем должен владеть образованный человек. Относящимися к этой области проблемами занимались некоторые из величайших мыслителей, и полученные ими результаты ЎЄ после надлежащего их осмысления ЎЄ вошли в число наиболее впечатляющих творений человеческого интеллекта. Любой серьезный студент-математик должен знать элементы символической логики; удобства этого символизма он легко сможет оценить, пытаясь точно сформулировать отрицание утверждения «f непрерывна при х = а»2.


[8]
Заключительная часть главы III предназначена для читателя, желающего ознакомиться с той ролью, которую играет символическая логика в современных исследованиях проблем, относящихся к формальным аксиоматическим теориям3.

В главе IV излагается теория булевых алгебр4. Она предлагается в качестве награды тем, кто справился с главами I и II и первой половиной главы III. Многие из введенных в этих главах понятий способствуют созданию на немногих страницах полной картины элементарной части теории, представляющей не только исторический интерес, но и значение для современной математики. Для достойного завершения "книги я избрал теорию, буквально ошеломляющую богатством своих возможностей.

Эта книга содержит заимствования из готовящегося к изданию учебника, являющегося более исчерпывающим изложением проблем оснований современной абстрактной математики. Приношу благодарность всем, кто помог мне в написании этой книги. Национальное общество оснований науки предоставило мне годичный отпуск за счет фонда Оберлинского колледжа, позволивший мне целиком посвятить это время своей работе. Калифорнийский технологический институт создал мне обстановку, чрезвычайно благоприятствующую работе. Я весьма обязан также своему бывшему коллеге профессору Angelo Margaris, способствовавшему моему логическому образованию. Профессор Margaris и издательский рецензент прочли всю рукопись, отметили мои ошибки и внесли многочисленные предложения, способствовавшие улучшению книги. НаконецЎЄто не в последнюю очередь ЎЄ я выражаю благодарность моей жене за перепечатку последовательно исправляемых вариантов текста и за терпение, проявленное ею, пока я преодолевал трудности писания.
3 сентября I960 г. Роберт Р. Столл
[9]
ГЛАВА I
МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ
Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Г. Кантором (1845ЎЄ1918). Исчерпывающее освещение проблем, связанных с ее возникновением и развитием, выходит за рамки наших задач, поскольку это потребовало бы довольно серьезных предварительных математических сведений. Вместо этого мы вынуждены, в порядке неудобного компромисса, дать поверхностный очерк этих вопросов. Не беда, если этот очерк не сможет в полной мере удовлетворить читателя; даже частичное понимание этих вопросов может оказаться полезным.

Проводившиеся Кантором исследования, относящиеся к тригонометрическим рядам и числовым последовательностям, привели его к задаче выяснения тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных множеств чисел по величине. Для решения этой проблемы Кантор ввел понятие мощности (или объема) множества, считая по определению, что два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих членов. Поскольку между членами двух конечных множеств можно установить такое попарное соответствие в том и только в том случае, когда они имеют одинаковое число членов, мощность конечного множества можно отождествить с количественным числом. Таким образом, понятие мощности бесконечного множества представляет собой обобщение обычного понятия количественного числа. В построении теории таких обобщенных (или трансфинитных) чисел, включающей в себя их арифметику и состояло создание Кантором теории множеств. Полученные им в этом


[10]
направлении результаты представляют собой исключительный образец математического творчества.

Настойчивое требование Кантора рассматривать бесконечность как нечто актуально данное (он рассматривал бесконечные множества и трансфинитные числа наравне с конечными множествами и натуральными числами) было для того времени большой новостью. Предубеждение по отношению к такой точке зрения обусловило непризнание работ Кантора со стороны некоторых математиков, реакция других была более благоприятна, тем более что новая теория давала доказательство существования трансцендентных чисел. Были получены также приложения теории множеств к анализу и геометрии, так что к 1890 году канторовская теория множеств получила признание в качестве самостоятельного раздела математики. В самом конце прошлого столетия обнаружилось, что позиция эта связана с определенными опасностямиЎЄоказалось, что в теории множеств могут возникнуть противоречия. Но это обстоятельство не воспринималось как очень серьезный дефект теории5 ЎЄ на это указывает и то, что эти противоречия стали именоваться парадоксами, т. е. такого рода дефектами теории, для устранения которых достаточно лишь как следует разобраться в сути дела.

Идеи канторовской теории не только оказались полезными для существовавшей математики; они постепенно привели к созданию самостоятельной дисциплины ЎЄ общей теории абстрактных множеств. Этой общей теории множеств и посвящена в основном данная глава.

В частности, в этой главе обсуждаются в рамках теории множеств три важных математических понятия: функция, отношение эквивалентности и отношение порядка. Параграфы 1.3ЎЄ1.6 содержат необходимые предварительные сведения; в §§ 1.1 ЎЄ1.2 описывается наша исходная точка зрения на теорию Кантора.

Можно было бы усомниться в разумности такой точки зрения ЎЄ известно, к каким неприятным последствиям она в конце концов приводит6. Мы полагаем, однако, что важнейшие выводы, которые делаются в этой главе, не зависят от тех особенностей, которые характерны для канторовского (или «наивного») подхода к теории множеств. В самом деле, любая теория множеств, предназначенная для того, чтобы служить основой математики, должна включать основные определения и теоремы, содержащиеся в этой главе. Наивными являются лишь методы, с помощью
[11]
которых мы получим некоторые из этих результатов. В пользовании такого рода методами нет ничего особенно страшного ЎЄ это обычное орудие математики7.

В этой главе мы будем предполагать, что читателю хорошо известны системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Знание этих систем расширяет возможности построения примеров, способствующих усвоению определений, теорем и т. д. Для обозначения множеств целых, рациональных, действительных и комплексных чисел мы будем использовать, соответственно, буквы Z, Q, R и С; для обозначения множеств положительных целых, положительных рациональных и положительных действительных чисел ЎЄ соответственно, символы Z + , Q+ и R + .


1.1. Канторовское понятие множества
Рассмотрим, как Кантор понимает термин «множество», и разберемся вкратце, из чего складывается это понимание. Согласно канторовскому определению, множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами, множества S.

Существенным пунктом канторовского понимания является то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет (мыслится как единое целое). Нет нужды еще раз подчеркивать, что внимание, здесь переносится с отдельных предметов на их собрания, в свою очередь понимаемые как предметы ЎЄ это обстоятельство очевидным образом отражено в таких словах нашего языка, как «компания», «стая», «стадо».

Что касается предметов, которые могут входить в множество, то формулировка «объекты нашей интуиции или интеллекта» предоставляет нам в этом отношении значительную свободу. Прежде всего эта формулировка не накладывает никаких ограничений на природу предметов, входящих в множество. Множество может состоять, например, из зеленых яблок, песчинок или простых чисел. Однако для приложений математики в качестве элементов множеств имеет смысл выбирать такие математические объекты, как точки, кривые, числа, множества чисел и т. п. Отметим также, что канторовская формулировка допускает рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно
[12]
указать. В этой связи стоит вспомнить, что элементы любого бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную совокупность.8 Примерами могут служить, скажем, множество всех простых чисел или множество точек евклидовой плоскости, координаты которых (в некоторой фиксированной системе координат) рациональны. Имеются и конечные множества, обладающие в этом отношении той же степенью неопределенности, что и любое бесконечное множество.9

В основе известного примера, подтверждающего это последнее обстоятельство, лежит допущение, что линотипная машина, имеющая 10000 различных литер (среди которых имеются строчные и прописные буквы всех существующих на Земле алфавитов различных размеров и фасонов, цифры, знаки препинания, всевозможные специальные знаки и пустая литера для пропуска между словами), пригодна для печатания на любом языке. (Точный объем этого множества литер не играет никакой роли; читатель может заменить в этом рассуждении 10 000 любым целым числом, превышающим 1.) Условимся теперь под «книгой» понимать любую последовательность, состоящую из 1000 000 знаков, напечатанных с помощью имеющихся литер (включая пустую литеру и соответствующий ей «пустой знак» ЎЄ пропуск). Таким образом, книга может содержать от 0 до 1000000 непустых знаков. Рассмотрим теперь множество всех книг. Поскольку для каждого из 1 000000 мест, которые в книге могут быть заняты знаками, имеется 10 000 различных возможностей, общее число книг оказывается равным 10 0001000000. Число это очень велико (но конечно!). Кроме всяческой тарабарщины, в это множество будут входить все учебники, когда-либо написанные или задуманные, все когда-либо напечатанные газеты, все противоправительственные памфлеты, все железнодорожные расписания, все таблицы логарифмов и т. д. и т. п. Совокупность эта столь же необъятна, как и бесконечное множество.

Остается еще пояснить участвующие в канторовской концепции множества слова «различимые» и «определенные». В первом случае, как обычно, имеется в виду, что для любых двух предметов, рассматриваемых как элементы некоторого множества, должна иметься возмож-
[13]
ность решить, различны они или одинаковы. Эпитет «определенный» понимается в том смысле, что если дано какое-либо множество и некоторый предмет, то можно определить, является этот предмет элементом данного множества или нет. Отсюда вытекает, что множество полностью определяется своими элементами.
1.2. Основные принципы интуитивной теории множеств
Согласно Кантору, всякое множество состоит из некоторых предметов, называемых его членами, или элементами (мы будем пользоваться обоими терминами как синонимами). Требование согласно которому для любого конкретного предмета и любого конкретного множества можно определить, является ли этот предмет элементом данного множества, означает следующее: если первое пустое место выражения «__есть элемент__» заполнено названием предмета, а второеЎЄназванием множества,

то предполагается, что о получающемся в результате предложении можно решить, является оно истинным или ложным. Таким образом, принадлежность, или членство, есть отношение между предметами и множествами. Мы будем обозначать это отношение символом Є и писать:


X µ § A
если предмет х является элементом множества А. Если же х не есть элемент множества А, то мы будем писать:
Xµ §A
Записью

X1, X2, ЎK.., Xn µ § A


мы будем пользоваться в качестве сокращения для «X1µ §A и X2µ §A и ЎK. Xnµ §A»

В терминах отношения принадлежности канторовское требование, согласно которому множество определяется своими элементами, может быть сформулировано следующим образом.

Интуитивный принцип объемности10. Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Равенство двух множеств X и Y будет обозначаться через
X = Y,
[14]
а неравенство множеств X и Y через
Xµ §Y
Следует уяснить, что принцип объемности есть нетривиальное допущение об отношении принадлежности. Доказательство равенства каких-либо двух конкретных множеств А и В состоит, вообще говоря, из двух частей: в первой части доказывается, что если X µ § A, то X µ § B; во второй ЎЄ что если X µ § B, то X µ § A. Пример такого доказательства приводится ниже.

То (однозначно определенное) множество, элементами которого являются предметы, X1, X2, ЎK.., Xn , будет обозначаться


{X1, X2, ЎK.., Xn}
В частности, {х} ЎЄ так называемое единичное множество ЎЄ есть одноэлементное множество, единственным элементом которого является х.
Примеры А

1. Докажем, что множество А всех положительных четных целых чисел равно множеству В положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных целых чисел. Допустим вначале, что X µ § A, и докажем, что X µ § B. Если X µ § A, то х = 2m, так что х = (2mЎЄ1)+1. Это и означает, что X µ § B. Предположим теперь, что X µ § B, и выведем отсюда, что X µ § A. Если X µ § B, то х = (2рЎЄ1)+ +(2qЎЄ1), откуда X = 2(p + qЎЄ1), из чего следует, что X µ § A. Таким образом, мы доказали, что множества А и В состоят из одних и тех же элементов.

2. {2, 4, 6} есть множество, состоящее из первых трех положительных четных целых чисел. Поскольку {2, 4, 6} и {2, 6, 4} состоят из одних и тех же элементов, они являются равными множествами. Кроме того, по той же причине {2, 4, 6} = {2, 4, 4, 6}.

3. Элементы какого-либо множества сами могут быть множествами. Например, географическая область, известная как Соединенные Штаты Америки, есть множество из 50 элементов ЎЄ штатов, каждый из которых, в свою очередь, есть множество округов. Далее, {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} есть множество из трех элементов, а именно: {1, 3}, {2, 4} и {5, 6}. Множества {{1, 2}, {2, 3}} и {1, 2, 3} не равны, так как элементами первого являются {1, 2} и {2, 3}, а элементами второго ЎЄ 1, 2 и 3.

4. Множества {{1,2}} и {1,2} не равны, так как первое ЎЄ одноэлементное множество, имеющее единственным своим элементом {1,2}, а второе имеет своими элементами 1 и 2. Это иллюстрирует то общее замечание, со-
[15]
гласно которому следует различать предмет и множество, единственным элементом которого является этот предмет.

Сделаем небольшое отступление, чтобы пояснить символику, используемую нами при обсуждении теории множеств. Как правило, мы будем пользоваться строчными курсивными латинскими буквами для обозначения элементов, а для обозначения содержащих их множеств будем употреблять (пока) прописные курсивные латинские буквы. Далее, для обозначения множеств некоторых определенных видов мы будем использовать строчные греческие буквы. Если элементы какого-либо множества в свою очередь являются множествами и если мы желаем подчеркнуть это обстоятельство в обсуждении, мы будем употреблять для обозначения таких множеств, содержащих множества, прописные рукописные латинские буквы и будем называть их системами множеств. Например, мы можем в случае необходимости говорить о системе Ґ всех конечных множеств А целых чисел х. Можно сказать в качестве мнемонического правила, что уровень, занимаемый множеством в рассматриваемой иерархии множеств, определяется размером и фасоном буквы, используемой для его обозначения.

Обозначение множества с помощью фигурных скобок, употребительное для явного задания множеств, составленных из небольшого числа элементов, слишком громоздко, чтобы его использовать для задания множеств, имеющих хотя и конечное, но большое число элементов, и вовсе неприменимо для бесконечных множеств (множеств, имеющих бесконечно много элементов). Как можно задать множество, состоящее из большого числа элементов? Имеется инстинктивная тенденция различать конечные и бесконечные множества, исходящая из того, что конечное множество можно фактически представить в виде некоторой полностью составленной совокупности, а бесконечное ЎЄ нельзя. Однако обширные конечные множества (например, описанное в § 1.1 множество книг) в той же мере «неисчерпаемы», как и любое бесконечное множество. Такого рода примеры приводят нас к заключению, что проблемы эффективного описания какого-либо обширного конечного множества и описания бесконечного множества практически представляют собой одну и ту же проблему.

Обычное решение этой проблемы, исходящее от Кантора, основано на понятии «формы от х»11. Пока мы ограничимся следующим интуитивным описанием. Будем понимать под высказыванием повествовательное


[17]
предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное. Тогда под формой от х мы будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхождение х в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета соответствующего рода, то в результате получится высказывание. Например, каждое из следующих выражений есть форма от х:
5 делит х; X2 + X + 1 > X

х любит Джона; х2 = 2.

х < X
Напротив, ни одно из следующих выражений формой от х не является:
для всех х х2 ЎЄ 4 = (X ЎЄ 2)(X + 2);

существует такое х, что х2 µ § 0.


Каждое из них попросту является высказыванием. С точки зрения грамматики форму от х можно определить и по-другому ЎЄ как предложение,

в котором что-то утверждается об х. Ясно, что каждое предложение первого из приведенных списков обладает этим качеством, предложения же из второго списка не обладают им. Еще один, отличный от предыдущих подход к понятию формы использует понятие функции ЎЄ так, как оно употребляется в элементарной математике. Форма от х может быть определена как функция одной переменной х, значениями которой (при надлежащим образом выбранной области определения функции) являются высказывания.

Мы будем пользоваться прописными латинскими буквами, стоящими перед символом (х) для обозначения форм от х. Если в некотором конкретном контексте Р (х) обозначает какую-либо определенную форму, то Р (а) будет обозначать ту же самую форму, но с заменой х на а.

Наша цель описывать множества в терминах форм достигается с помощью следующего принципа.

Интуитивный принцип абстракции12. Любая форма Р (х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие предметы а. что Р (а) есть истинное высказывание.

Поскольку множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны, то любая данная форма Р (х) определяет в точности одно, вполне оп-


[17]
ределенное множество, обычно обозначаемое в математике через
{X | P (X)}
что читается так: «множество всех таких х, что Р (х)». Таким образом, a µ § {X | P (X)} в том и только в том случае, если Р (а) ЎЄ истинное высказывание. Можно сказать, что решение вопроса, является ли данный предмет а элементом множества {X | P (X)}, есть решение вопроса, обладает ли а некоторым определенным свойством (качеством). Поэтому, когда какую-нибудь форму от х, Р (х), используют для построения некоторого множества, ее обычно называют свойством X - a (propertY of X) или, по-другому, определяющим свойством множества {X | P (X)}. В таком случае принцип абстракции можно сформулировать в виде утверждения: «Каждое свойство определяет некоторое множество».

Мы допускаем возможность вхождения в форму от х других символов, отличных от х. Если Р (х) есть форма от X, а Y ЎЄ символ, не входящий в Р(х), то свойства Р(х) и Р(у) неразличимы, так что {X | P (X)}{х| Р(х)} = {Y | P (Y)}.Равенство это, однако, не обязательно справедливо в том случае, когда у входит в Р (х). Например,


{X |X делится на u} = {Y |Y делится на u},

но

{X |X делится на u} Ѓ‚ {Y |Y делится на u}.


С другой стороны, если F (х) и G (х) ЎЄ два свойства, такие, что F (х) справедливо для х тогда и только тогда, когда G (X) справедливо для х, то согласно принципу объемности {X | F (X)} = {X | G (X)}. Например,
{X | X µ § A и X µ § B} = {X | X µ § B и X µ § A}

и

{X | X µ § Z+ и X < 5} = {X | X µ § Z+ и (X + 1)2 ЎЬ 29}.


Примеры В.

I. Введение в обращение бесконечных множеств с помощью определяющих их свойств ЎЄ процедура, хорошо знакомая каждому, изучавшему аналитическую геометрию. Обычное определение таких геометрических мест, как, скажем, конические сечения, придется слегка переформулировать. Например, окружность радиуса 2 с центром в начале координат есть множество всех таких х, что х есть точка плоскости и х находится на расстоянии в две единицы от начала координат.


[18]
2. Легко видеть, что следующие выражения представляют собой множества, определенные посредством некоторых свойств:

(a) {х |х есть целое число, большее 1 и не имеющее делителей, меньших или равных хЅ};

(b) {х |х есть положительное целое число, меньшее 9};

(c) {х |х есть кривая третьего порядка в координатной плоскости};

(d) {X |X есть функция, непрерывная на замкнутом отрезке от 0 до 1}.

3. {х |х = х1 или х = х2 или ... или х = хn) есть множество, которое мы выше договорились обозначать через {X1, X2, ЎK.., Xn}.

4. В некоторых случаях язык позволяет нам дать более краткое определение какого-либо конечного множества, чем-то, которое получается перечислением его элементов. Например, некоторое конкретное множество из 100 людей может быть более коротко определено с помощью свойства «х ЎЄ сенатор», нежели перечислением имен его элементов13.
[19]
Упражнения.

Объясните, почему 2 µ § {1, 2, 3}.

Верно ли, что {1, 2} µ § {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Ответ обосновать.

Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.

Приведите пример таких множеств A, B и C, что A µ § B, B µ § C, но не A µ § C.

Опишите словесно каждое из следующих множеств:

{X µ § Z| X делится на 2 и X делится на 3};

(b) {X| X µ § A и X µ § B};


[20]
(c) {X| X µ § A или X µ § B};

(d) {X µ § Z+| X µ § {X µ § Z для некоторого целого Y, X = 2Y} и X µ § {X µ § Z| для некоторого целого Y, X = 3Y}}.

(e) {X2| X ЁC простое число};

6. Докажите, что для любых, не обязательно различных между собой предметов a, b, c и d {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} в том и только в том случае, когда a = c и b = d.


1.3. Включение
Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и В суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая запись: Aµ §B), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть подмножество множества В. Далее мы условимся считать выражение «В включает А» (символически: Bµ §A) синонимом для «A включено в В». Таким образом, как Aµ §B, так и Bµ §A означает, что для каждого х, если хµ §A, то Xµ §В. Множество А строго включено в В (символически: Aµ §В), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное подмножество В, если Aµ §B и А Ѓ‚ В. Например, множество четных чисел строго включено в множество Z целых чисел, а множество Q рациональных чисел строго включает Z.

Основные свойства отношения включения следующие:


Xµ §X;

Xµ §Y и Yµ §Z влечет Xµ §Z;

Xµ §Y и Yµ §X влечет X = Y.
Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для того чтобы доказать, что X = Y, надо доказать, что Хµ §Y, а затем что Yµ §X.

Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного из этих трех свойств ЎЄ второго. Доказательство того, что Xµ §Y и Yµ §Z влекут Xµ §Z, составляет предмет одного из упражнений в конце этого параграфа. Там же читатель найдет и другие свойства строгого включения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, частным случаем которого оно является.


[21]
Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлежности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчеркивать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых чисел, то Xµ §Х. Другой пример: хотя 1µ §Z и Zµ §{Z} не верно, что 1µ §{Z}, так как единственный элемент множества {Z} ЎЄ это множество Z.

Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо множества, т. е. множеств, включенных в некоторое множество. Образование новых множеств из уже имеющегося множества ЎЄ процедура, играющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества данного множества позволяет принцип абстракции. В самом деле, если Р (х) есть форма от х и А есть некоторое множество, то форма


Xµ §A и P(X)
определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через {Xµ §A| P(X)}. Если А ЎЄ произвольное множество, а в качестве Р (х) мы выберем х Ѓ‚ х, то результат будет {Xµ §A| X Ѓ‚ X} ЎЄ это множество, очевидно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем называть это множество пустым множеством и обозначать его через
x.
Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы установить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент множества x есть элемент множества A. Поскольку x не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удобным. Допустим, что xµ §A ложно. Это может быть лишь в том случае, если существует некоторый элемент множества x, не являющийся элементом множества А. Но это невозможно, так как x не имеет элементов. Значит, xµ §A не является ложным, т. е. xµ §A.

Каждое множество А Ѓ‚ x имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и x. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Если аµ §А, то {a}µ §А. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств этого множества. Множество всех подмножеств множества А называется


[22]
множеством-степенью множества А и обозначается через
P (A)

Таким образом, P (A) есть сокращенное обозначение для


{B| Bµ §A}.
Например, если A = {1, 2, 3}, то
P (A) = {А, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, x).
В качестве другого примера различия между отношениями принадлежности и включения мы отметим, что если Bµ §A, то Вµ § P (A)), а если аµ §А, то {а}µ § P (A).

Термин «множество-степень множества А» в качестве наименования множества всех подмножеств, множества А ведет свое происхождение от того случая, когда А есть конечное множество; в этом случае для А, состоящего из n элементов, P (A) имеет 2n элементов. Чтобы доказать это, рассмотрим следующую схему для описания подмножества В множества А = {а1, ..., аn}: последовательность n нулей и единиц, первый член которой есть 1, если а1 µ §В, и 0, если а1 µ §В, второй член есть 1, если а2 µ §В, и 0, если а2 µ §В, и т. д. Ясно, что каждое подмножество множества А можно поставить в соответствие некоторой такой последовательности нулей и единиц; например, если n = 4, то {а1, а3} определяет последовательность 1010 и само определяется ею.

Поскольку общее количество таких последовательностей равно 2*2*ЎKЎK*2 = 2n, число элементов множества P (A) также равно 2
Упражнения

1. Доказать каждое из следующих утверждений, используя необходимые свойства чисел.

(a) {хµ §Z| для некоторого у х = 6у} = {хµ §Z| для некоторых целых чисел u и v х = 2u и х = 3и};

(b) {хµ §R| для некоторого действительного числа у х = Y2} = {Xµ §R| хЎЭ0};

(c) {Xµ §Z| для некоторого целого числа у X = 6Y}µ §{Xµ §Z| для некоторого целого числа у х = 2у}.

2. Доказать каждое из следующих утверждений для произвольных множеств А, В и С:

(a) Если Aµ §В и Вµ §С, то Aµ §С.

(b) Если Аµ §В и Вµ §С, то Аµ §С.

(с) Если Аµ §В и Bµ §C, то Aµ §С.

(d) Если Аµ §В и Вµ §С, то Аµ §С.


[23]
3. Привести пример множеств A, В, С, D и E, удовлетворяющих одновременно следующим условиям: Аµ §В, Вµ §С, Cµ §D и Dµ §E.

4. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В и С?

(а) Если Аµ §В и Вµ §С, то Aµ §C.

(b) Если A Ѓ‚ В и В Ѓ‚ С, то А Ѓ‚ C.

(c) Если Aµ §В и не верно, что Bµ §C, то Aµ §С.

(d) Если Aµ §В и Вµ §С, то не верно, что Сµ §A.

(e) Если Aµ §В и Вµ §С то Aµ §С.

5. Показать, что для любого множества A xµ §A и что Aµ §x тогда и только тогда, когда А = x.

6. Пусть А1, A2, ..., Аn ЎЄ п множеств. Показать, что
A1 µ §A2 µ § ЎK.. µ §An µ §A1
тогда и только тогда, когда
A1 = A2 = ... = An.
7. Привести несколько примеров таких множеств X, для которых каждый элемент множества X есть подмножество множества X.

8. Перечислить все элементы множества P (A) для множества A = {{1, 2}, {3}, 1}.

9. Для каждого положительного целого числа п указать пример такого множества An состоящего из п элементов, что для каждой пары элементов множества An один из элементов есть член другого.
1.4. Операции над множествами
Продолжая описание методов получения новых множеств из уже существующих, мы опишем два метода, при помощи которых из двух множеств строится новое множество. Эти так называемые операции над множествами в некоторых отношениях аналогичны операциям сложения и умножения целых чисел. Объединение. (соединение, сумма) множеств A и В (обозначается через Aµ §В; Aµ §В читается как «объединение А и В» или «A чашка В») есть множество всех предметов, которые являются элементами множества A или В; иными словами,
Аµ §В = {х| хµ §А или Xµ §В}.
Здесь подразумевается неисключающий смысл слова «или»
[24]
Таким образом, по определению хµ § Aµ §B тогда и только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из множеств A и B. Например,
{1, 2, 3}µ §{1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Пересечение (произведение) множеств A и B(обозначается через Aµ §В; Аµ § В читается как «пересечение А и В» или «A крышка B») есть множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств А и В; иными словами:

Аµ §В = {х| хµ §А и Xµ §В}.


Таким образом, по определению хµ §Аµ §В тогда и только тогда, когда Xµ §A и хµ §В. Например,
{1, 2, 3}µ §{1, 3, 4}-{1, 3}.
Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что для всякой пары множеств А и В имеют место следующие включения:
xµ §Аµ §Вµ §Аµ §Аµ §В
Два множества А и В называются непересекающимися (или расчлененными), если Аµ §В= x, и пересекающимися, если Аµ §ВЃ‚ x. Система множеств называется расчлененной, если любая пара ее различных элементов является непересекающейся. Разбиением множества X мы будем называть такую расчлененную систему U непустых и различных подмножеств множества Х, что каждый элемент множества X является в то же время элементом некоторого (а следовательно, в точности одного) элемента системы U. Например, {{1, 2}, {3}, [4, 5}} Есть разбиение множества {1, 2, 3, 4, 5}.

Следующая операция ЎЄ операция перехода к дополнению ЎЄ позволяет образовать новое множество из одного ранее существовавшего множества. Абсолютное дополнение множества А (обозначается через В) ЎЄ это не что иное, как множество {х|хµ §А}. Относительное дополнение множества А до множества X ЎЄ это множество Хµ §В; оно обычно обозначается через Х - А, что читается как «Х минус А». Таким образом, Х - А есть сокращение для


{Xµ §X\Xµ §A},
т. е. для множества тех элементов множества X, которые не являются элементами множества А.
[25]

Симметрическая разность множеств А и В, обозначаемая через А+В, определяется следующим образом:


А+В=(А-В)µ §(В-А).
Эта операция14 коммутативна [А+B=В+А] и ассоциативна [(А+В)+С=А+(В+С)]. Кроме того, А+А=x и А+x=А. Доказательства этих утверждений предоставляются читателю.

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество U называют универсальным множеством (для этого рассуждения15). Например, для элементарной арифметики универсальным множеством служит Z, а для аналитической геометрии плоскости ЎЄ множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Для графической иллюстрации отношений, которые могут иметь место между подмножествами какого-либо универсального множества U, часто используют так называемые диаграммы Венна. Диаграмма Венна представляет собой схематическое изображение множеств в виде точечных множеств: универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножество А ЎЄ в виде круга или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника16. Дополнение множества А (до U), которое мы можем, не опасаясь двусмысленности, обозначать через В, изображается в таком случае той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга, изображающего А (рис.1). Если изобразить таким образом какие-нибудь множества А и В, являющиеся подмножествами множества U, то множества Аµ §В и Аµ §В изображаются областями, заштрихованными, соответственно, на рисунках 2 и 3. Непересекающиеся множества изображаются неперекрывающимися областями, а включение множеств соответствует тому обстоятельству, что одна из областей на диаграмме Венна целиком лежит внутри другой. Построение диаграммы Венна для сложного выражения, составленного из нескольких множеств посредством объединения, пересечения,


[26]
дополнения и включения, осуществляется комбинированием описанных способов построения диаграмм для этих составных частей. Диаграммы Венна применяются главным образом для упрощения некоторого данного сложного выражения или совокупности условий на подмножества универсального множества. Ниже мы приведем три простых примера

µ § заштриховано Аµ §В заштриховано Aµ §B заштриховано


такого рода. Во многих случаях такие диаграммы оказываются недостаточными, но их использование все же может помочь при освоении алгебраического подхода, развиваемого в следующем параграфе.

Примеры


1. Пусть А и В ЎЄ два таких множества, что А-В=В-А= x.

Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?


Поскольку А-В= x означает, что Аµ §µ §=x, области, представляющие А и µ § на диаграмме Венна (рис. 4), не перекрываются. Очевидно,

µ §=В, так что мы получаем Аµ §В (рис. 5). И обратно, если Аµ §В, то, очевидно, А-В=x. Мы приходим к выводу, что А-В =x равносильно Аµ §В. Поменяв ролями А и В, мы получим, что В-А=x равносильно Вµ §А. Таким образом, заданные отношения между А и В равносильны тому, что Аµ §В и Bµ §A, т. е. А = В.

2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества А, В и С универсального множества U, для которых одновременно имели бы место следующие соотношения:


С Ѓ‚ x, А µ §В Ѓ‚ x, (А µ §В)-С= x.

A Bµ § = x

Таб.1
[27]
Из второго условия вытекает, что А и В пересекаются, из чего, кстати, следует, что оба они непусты. Согласно примеру 1 четвертое условие равносильно тому, что Aµ §Вµ §С, из чего видно, что первое условие является излишним. С помощью диаграммы Венна легко убедиться, что А и С пересекаются, т. е. что второе и четвертое условия противоречат третьему. Следовательно, множеств, одновременно удовлетворяющих всем приведенным условиям, не существует.

3. Пусть F, G и L ЎЄ такие подмножества множества U, что


Fµ §G, G µ §Lµ § F, Lµ §F=x.
Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые удовлетворяли бы этой совокупности условий? Диаграмма Венна (рис. 6) иллюстрирует только первое и третье условия. Но теперь из второго условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что Gµ §L=x. С другой стороны, если Fµ §G и Gµ §L=x, то выполняются все заданные условия. Таким Образом, данная система условий может быть сведена к более простой: Fµ §G и Gµ §L=x.
Упражнения
Замечание. В упражнениях 1 ЎЄ 8 надо обойтись без использования диаграмм Венна.

1. Доказать, что для любых множеств А и В верно x µ § Аµ §Вµ §Аµ §В.

2. Пусть универсальным множеством служит Z и пусть
A={Xµ §Z} для некоторого положительного целого числа у х = 2у},

В = {хµ §Z} | для некоторого положительного целого числа у х = 2у ЎЄ 1}.

C = {Xµ §Z| X<10}.
Опишите множества µ §, µ §, µ §, А ЎЄ µ § и C - (Аµ §В) словесно или с помощью определяющего свойства.

3. Рассмотрим следующие подмножества множества целых положительных чисел Z +:


A = {Xµ §Z+| для некоторого целого числа у х = 2у},

B = {Xµ §Z+| для некоторого целого числа у х = 2у+1},

С = {Xµ §Z+| для некоторого целого числа у х = 3у}.
(а) Опишите Аµ §С, Вµ §С и В ЎЄ С.

(b) Проверьте, что Аµ §(Вµ §С) = (Аµ §В) µ § (Аµ §С).


[28]
4. Пусть A ЎЄ произвольное множество. Что представляют собой следующие множества: Аµ §x, Аµ §x, А ЎЄ x, А ЎЄ А, x ЎЄ А?

5. Определите: xµ §{x}, {x}µ §{x}, {Ф, {Ф}} - x, {x, {x}} ЎЄ {x}, {x, {x}} - {{x}}.

6. Пусть А и В ЎЄ подмножества множества U. Покажите, что для каждой приведенной ниже системы соотношений (а), (b) и (с) из справедливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех других соотношений данной системы:
(a) Аµ §В, µ §µ §µ §, Aµ §В = В, Аµ §В = А;

(b) Аµ §В = x, Аµ §µ §, Bµ §;

(c) Aµ §B = U, µ §µ §B, Вµ §µ §.
7. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
(Аµ §В) µ § С = Aµ §(Bµ §С) равносильно Cµ §A.
8. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
(A ЎЄ B) ЎЄС = (A ЎЄС) ЎЄ (В ЎЄ С).
9. (а) Постройте диаграмму Венна, соответствующую симметрической разности А - В множеств А и В;

(b) с помощью диаграммы Венна покажите коммутативность и ассоциативность операции симметрической разности;

(c) покажите, что для любого множества А А ЎЄ А = x, A+x = A.

10. На диаграмме Венна для подмножеств А, В и С универсального множества U прямоугольник, соответствующий U, разбивается, вообще говоря, на восемь неперекрывающихся областей. Укажите, какие комбинации множеств A, В и С соответствуют каждой из этих областей.

11. С помощью диаграмм Венна исследуйте вопрос о справедливости каждого из следующих рассуждений:
(a) Если А, В и С ЎЄ такие подмножества множества U, что Aµ §Bµ §µ § и Aµ §Cµ §B, то Aµ §С = x,

(b) Если A, В и С ЎЄ такие такие подмножества множества U, что Aµ §µ § и Bµ §


1.5. Алгебра множеств
Если мы захотим приняться за рассмотрение белее сложных вопросов, касающихся различных соотношений между множествами, нежели те, которых мы касались выше, то мы сразу же ощутим необходимость
[29]
в более систематизированных методах обращения с множествами, относящихся к включению, объединению, пересечению и дополнению.

Иначе говоря, то, что ниже будет естественным образом названо «алгеброй множеств» ЎЄ это не что иное, как дальнейшее развитие основных свойств операций µ §, µ §, µ § и µ §, и связей между ними. Можно сказать, что алгебра множеств представляет собой теоретико-множественный аналог обычной алгебры действительных чисел, исходящей из свойств операций +, . и ЎЬ и их взаимосвязей. Алгебра множеств представляет собой совокупность тождеств-равенств, справедливых независимо от того, каково универсальное множество U и какие именно конкретные подмножества множества U обозначаются входящими в эти равенства буквами (отличными от U и x).

Первый наш результат устанавливает основные свойства объединения и пересечения. Ради единообразия все эти свойства будут сформулированы для подмножеств универсального множества U. Однако для некоторых из этих свойств упомянутое ограничение является совершенно несущественным, что видно из приводимых ниже доказательств.
Теорема 1.1. Для любых подмножеств А, В и С универсального множества U следующие равенства являются тождествами (A здесь используется в качестве сокращения для U ЎЄ A):
1. Aµ §B (Bµ §C) = (Aµ §B) µ §C. 1ґ. Aµ §B (Bµ § C) = (Aµ §B)µ §C.

2. Aµ §B = Bµ §A. 2ґ. Aµ §B = Bµ §A.

3. Aµ §(Bµ §C) = (Aµ §B) µ §(Aµ §C). 3ґ. Aµ §(Bµ §C) = (Aµ §B) µ §(Aµ §C).

4. Aµ §x = A 4'. Aµ §U = A.

5. Aµ §µ § = U. 5ґ. Aµ §µ § = x.
Доказательство. Справедливость каждого из этих утверждений можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства. В качестве примера докажем тождество 3.

(a) Доказательство того, что Aµ § (Bµ §C)µ §(Aµ §B) µ §(Aµ §C). Пусть Xµ §Aµ §(Bµ §C). Тогда Xµ §A или Xµ §Bµ §C. Если Xµ §A, то Xµ §Aµ §B и Xµ §Aµ §C, а, следовательно, х есть элемент пересечения этих множеств. Если Xµ §Bµ §C, то Xµ §B и Xµ §C. Следовательно, Xµ §Aµ §B и Xµ §Aµ §C, так что и в этом случае х есть элемент их пересечения.

(b) Доказательство того, что (Aµ §B)µ §(Aµ §C) µ § Aµ §(Bµ §C). Пусть Xµ §(Aµ §B)µ §(Aµ §C). Тогда Xµ §(Aµ §B) и Xµ §(Aµ §C). Следовательно, Xµ §A, или же Xµ §B и Xµ §C. Из этого и вытекает, что Xµ §(Aµ §B)µ §(Aµ §C).
[30]
Тождества 1 и 1ґ называют ассоциативными законами, соответственно, для объединения и пересечения, а тождества 2 и 2' ЎЄ коммутативными законами для этих операций. Тождества 3 и 3'ЎЄэто дистрибутивные законы для этих операций. В этом пункте нарушается аналогия, имеющая место между свойствами объединения и пересечения множеств, с одной стороны, и, соответственно, сложения и умножения чисел ЎЄ с другой. 3' в точности соответствует дистрибутивному закону арифметики. Расхождение проявляется в тождестве 3, для которого в арифметике нет аналога.

Согласно ассоциативному закону (тождество 1), два множества, которые можно образовать с помощью операции объединения, исходя из множеств А, В и С, взятых в определенном порядке, равны. Условимся обозначать это единственное множество через Aµ §Вµ §С. Ассоциативный закон утверждает, что не играет роли, как расставить скобки в этом выражении. При помощи математической индукции этот результат можно обобщить следующим образом. Все множества, получаемые с помощью операции объединения из заданных множеств A1, A2, ..., An взятых в фиксированном порядке, равны друг другу. Множество, получаемое таким способом из A1, A2, ..., An, мы будем обозначать через


A1 µ § A2 µ §..., µ § An
В силу тождества 1ґ соответствующее обобщение справедливо и для операции пересечения. Эти общие ассоциативные законы позволяют нам установить общие коммутативные законы: если 1ґ, 2ґ, ,nґ суть числа 1, 2, .... n, взятые в произвольном порядке, то
A1 µ § A2 µ §..., µ § An = A1ґ µ § A2ґ µ §..., µ § Anґ.

То же можно сказать и об общих дистрибутивных законах:


A µ §(B1 µ §B2 µ §ЎKЎK µ §Bn) = (A µ §B1) µ §(A µ §B2) µ §ЎK.. µ §(A µ §Bn),

A µ §(B1 µ §B2 µ §ЎKЎK µ §Bn) = (A µ §B1) µ § (A µ §B2) µ §ЎK.. µ § (A µ §Bn).


Законы эти также могут быть доказаны по индукции.

Подробные доказательства дальнейших свойств объединения и пересечения не требуют никаких ссылок на отношение принадлежности ЎЄ ти свойства непосредственно следуют из тех, которые устанавливаются в теореме 1.1. Это относится, в частности, и к тем свойствам, которые фигурируют в следующей теореме. Это обстоятельство можно расценивать как источник «аксиоматического подхода» к алгебре множеств, развиваемого ниже, в главе IV. Подход этот основан на том, что любая теорема алгебры множеств выводима из 1 ЎЄ 5 и 1ґ ЎЄ 5ґ.


[31]
Указанные десять свойств позволяют сделать и другой интересный вывод. В теореме 1.1 эти свойства фигурируют попарно таким образом, что каждый член любой пары получается из другого члена одновременной взаимной заменой µ § и µ §, x и U. Равенство (или выражение, или утверждение) алгебры множеств, полученное из другого равенства (соответственно, выражения или утверждения) заменой всех вхождений µ § на µ §, µ § на µ §, x на U и U на x, называют двойственным исходному. Мы утверждаем, что предложение, двойственное любой теореме алгебры множеств, сформулированной в терминах µ §, µ § и µ §, для доказательства которой можно обойтись лишь тождествами 1 ЎЄ 5 и, также является теоремой. В самом деле, допустим, что доказательство исходной теоремы представлено в виде последовательности шагов, а рядом с каждым шагом записано его обоснование. По предположению каждое такое обоснование является одним из тождеств 1 ЎЄ 5, 1ґ ЎЄ 5ґ или условием теоремы. Заменим теперь каждое тождество и соотношение, встречающееся в доказательстве и обосновании, двойственным ему. Поскольку тождество, двойственное каждому из тождеств 1 ЎЄ 5, 1ґ ЎЄ 5ґ, снова является одним из этих тождеств, а утверждение, двойственное посылке исходной теоремы, является посылкой ноеой теоремы, результат замены каждого шага обоснования в доказательстве исходной теоремы может служить обоснованием соответствующего шага новой последовательности, которая, следовательно, будет являться доказательством. Таким образом, последняя строка новой последовательности является теоремой, двойственной исходной теореме. Согласившись, что любая теорема алгебры множеств может быть выведена из условий 1 ЎЄ 5 и 1ґ ЎЄ 5ґ, мы приходим к принципу двойственности для алгебры множеств: для любой теоремы Т, формулируемой в терминах µ §, µ § и µ §, двойственное ей предложение также является теоремой. Из этого принципа, например, получается, что если какое-нибудь утверждение следующей теоремы непосредственно вытекает из теоремы 1.1, то соответствующее ему (т. е. находящееся в паре с тем же номером) утверждение также в силу двойственности вытекает из теоремы 1.1. Читатель сам сможет убедиться, что все утверждения теоремы 1.2 истинны, используя определения для µ §, µ § и µ § в терминах отношения принадлежности. После этого стоило бы попытаться вывести некоторые из этих утверждений прямо из теоремы 1.1, т. е. без какой бы то ни было апелляции к определению отношения принадлежности. Некоторые примеры такого рода читатель найдет ниже, в доказательстве теоремы 4.1.
Теорема 1.2. Для произвольных подмножеств А и В множества U справедливы следующие утверждения (µ § здесь служит сокращением для U ЁC A).
[32]
6. Если для всех A Aµ §B = A, 6ґ. Если для всех A Aµ §B = A,

то B = x. то B = U.


7. 7'. Если A µ §B = U и A µ §B = x, то B = µ §.
_ 8.8ґ. µ §. = A.

9. x = U. 9ґ. µ § = x

10. A µ §A = A. 10ґ. A µ §A = A

11. A µ § U= U. 11ґ. A µ § x = x.

12. A µ §(А µ §В) = А. 12ґ. А µ §(А µ § В) = А.

13. µ § = µ § µ § µ §. 13. ґµ §.= µ § µ § µ §


Некоторые из тождеств теоремы 1.2 известны под специальными именами. Так, 10 и 10ґ ЎЄ это законы идемпотентности, 12 и 12ґ ЎЄ законы поглощения, 13 и 13ґ ЎЄ законы де Моргана. Каждое из тождеств 7, 7ґ и 8, 8ґ занумеровано дважды, чтобы подчеркнуть, что каждое из них не меняется при преобразовании, переводящем его в двойственное; такие формулы называют самодвойственными. Заметим, что 7, 7ґ утверждает, что каждое множество имеет единственное дополнение.

По поводу следующей теоремы требуется пояснение. Утверждение вида «Предложения R1 R2, ..., Rk попарно эквивалентны» означает: «Для любых i и j Ri эквивалентно Rj», что, в свою очередь, справедливо в том и только в том случае, когда R1 влечет R2, R2 влечет R3, ..., R k-1влечет Rk, R k влечет R1. Содержанием теоремы является то, что отношение включения множеств может быть определено в терминах объединения, а также в терминах пересечения.


Теорема 1.3. Следующие предложения о произвольных множествах А и В попарно эквивалентны:
(I) Aµ §B;

(II) A µ § B = A;

(III) A µ § B = B.
Доказательство. (I) влечет (II). Пусть Aµ §B. Поскольку для всех А и В Aµ §Bµ §A, нам достаточно доказать, что Aµ §Aµ §B. Но если Xµ §A, то Xµ §B и, следовательно, Xµ §Aµ §B. Значит, Aµ §Aµ §B.

(II) влечет (III). Пусть Aµ §B = A. Тогда Aµ §B = (Aµ §B)µ §B = (Aµ §B)µ §(Bµ §B) = (Aµ §B)µ §B = B.

(III) влечет (I). Пусть Aµ §B = B. Но из этого тождества и тождества Aµ §Aµ §B следует Aµ §B.
[33]
Принцип двойственности в том виде, как он был сформулирован выше, не приложим непосредственно к выражениям, содержащим знаки µ § или µ §. На вычитание этот принцип может быть распространен использованием несокращенной формы, а именно Aµ §µ § вместо А ЎЄ В. Точно так же в силу теоремы 1.3 Аµ §В можно заменить на Aµ §B = А (или Аµ §В = В). А еще лучше будет сказать, что, поскольку двойственным к Aµ §B = А является соотношение Aµ §B = А, эквивалентное Аµ §В, то принцип двойственности может быть расширен на тот случай, когда в выражение входит символ включения, распоряжением, чтобы при переходе к двойственному выражению все знаки µ § (µ §) заменялись на µ § (соответственно, µ §) и обратно.
[37]
1.6. Отношения
В математике часто пользуются для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термином «отношение». Следующие неполные предложения (или предикаты) могут служить примерами отношений:
...меньше, чем ... ЎKконгруэнтноЎK ЎKчлен...

делится наЎK ...включено вЎK ...мать...


В настоящем параграфе понятие отношения будет освещено в рамках теории множеств.

Формулируемое ниже определение исходит из следующего предварительного представления: (бинарное) отношение используется в связи с парами объектов, рассматриваемых в определенном порядке; оно касается существования определенного типа связи между некоторыми парами. Мы считаем при этом, что отношение дает критерий для отличения одних упорядоченных пар от других в следующем смысле. Если перечень всех упорядоченных пар, для которых имеет смысл говорить о данном отношении, задан, то с каждой такой парой мы связываем слово «да» или «нет» в качестве указания на то, что данная пара находится или, соответственно, не находится в рассматриваемом отношении. Очевидно, что к этому же результату можно прийти, перечислив в точности те пары, которые находятся в данном отношении. Такой перечень полностью характеризует данное отношение. Таким образом, для определения понятия отношения мы исходим из представления о множестве упорядоченных пар, для чего в свою очередь нужно предварительно уточнить понятие упорядоченной пары.

С интуитивной точки зрения упорядоченная пара ЎЄ это просто совокупность, состоящая из двух предметов, расположенных в некотором определенном порядке. Когда это понятие используют в математике, предполагают, что упорядоченная пара обладает двумя свойствами: (1) для любых двух данных предметов х и у существует объект, который можно обозначить через µ §, называемый упорядоченной парой х и у и однозначно определяемый предметами х и у; (2) если µ § и µ § ЎЄ две упорядоченные пары, то µ § = µ § в том и только в том случае, когда х = и и Y = v. Теперь мы можем определить объект (на самом деле являющийся множеством), который обладает обоими этими свойствами: упорядоченная пара предметов х и у, обозначаемая символически через µ §, есть множество
{{X}, {X, Y}};
иначе говоря, это двухэлементное множество, один из элементов кото-
[38]
рого, {х, у}, есть неупорядоченная пара, а другой, {х}, определяет, какой из членов этой неупорядоченной пары считается «первым». Мы можем теперь, исходя из этого определения, доказать, что упорядоченные пары обладают обоими упомянутыми выше свойствами.
Теорема 1.4. Упорядоченная пара предметов х и у однозначно определяется через х и у. Кроме того, если µ § = µ §, то х = и и Y = v.
Доказательство. То, что х и у однозначно определяют µ §, следует из принятого нами выше допущения, что множество однозначно определяется своими элементами. Обратимся ко второй части утверждения. Пусть µ § = µ §. Рассмотрим два случая:

(I) u = v. Тогда = {{u}, {u, v}} = {{u}}. Следовательно, {{х}, {х, у}} = {{и}}, из чего следует, что {х} = {х, у} = {и}, из чего, в свою очередь, вытекает, что х = и и Y = v.

(II) и Ѓ‚ v. Тогда {и} Ѓ‚ {u, v} и {х} Ѓ‚ {и, v}. Поскольку {X}µ §{{u}, {u, v}}, то {X} = {u} и, следовательно, х = и. Поскольку {и, v}µ §{{X), {X, у}} и {и, v} Ѓ‚ {х], то {и, v} = {х, у}. Значит, {х) Ѓ‚ {х, у} и, далее, х Ѓ‚ у и у Ѓ‚ и. Окончательно, у = v.
Будем называть х первой координатой, а у ЎЄ второй координатой упорядоченной пары µ §. В терминах упорядоченных пар можно определить теперь упорядоченные тройки и, вообще, - упорядоченные п - ки. Упорядоченная тройка предметов х, у и z, обозначаемая через µ §, определяется как упорядоченная пара µ §. Если понятие упорядоченной (п ЎЄ 1)-ки уже определено, то упорядоченная п - ка17 предметов Xl, х2, ... , хn, обозначаемая через µ §, есть по определению µ §.

Возвращаясь теперь к основной теме этого параграфа, мы определим (двуместное) отношение как множество упорядоченных пар, т. е. множество, каждый элемент которого есть упорядоченная пара. Если µ § есть некоторое отношение, то мы считаем выражения µ §µ § и хµ §у взаимозаменяемыми и говорим, что х µ § - относится к у в том и только в том случае, когда хµ §у. Для некоторых отношений ЎЄ например, равенства, принадлежности, включения, конгруэнтности ЎЄ приняты специальные обозначения. Такие привычные обозначения, как х = у, х < у и х µ § у, исходят как раз не от обозначения µ §µ §, а от хµ §у.

Естественным обобщением понятия бинарного отношения является понятие п - арного (п - местного) отношения, определяемого как множество
[39]
упорядоченных n - ок. Термин «бинарное отношение» относился, разумеется, к случаю п = 2. Аналогично, вместо того чтобы говорить «3 - арное отношение», мы будем пользоваться термином тернарное отношение.
Примеры А
1. Множество {µ §}, будучи множеством упорядоченных пар, есть бинарное отношение. Не имея никакого конкретного значения, это отношение, естественно, не получило и специального названия.

2. Отношение «меньше чем» для целых чисел есть множество {µ §} для целых чисел х и у найдется такое положительное целое число z, что {х + z = Y}. Если это отношение выразить символически обычным образом, предложения «2 < 5» и «µ §<» будут синонимичны (и оба истинны).

3. Если µ § обозначает отношение материнства, то µ §Джейн, Джонµ §µ § означает, что Джейн является матерью Джона.

4. Отношение между родителями и ребенком представляет собой пример тернарного отношения. Если обозначить это отношение через µ §, то µ §Элизабет, Филип, Чарлзµ §µ § означает, что Элизабет и Филип ЎЄ родители Чарлза. Другой пример тернарного отношения дает нам операция сложения в Z; запись «5 = 2 + 3» можно представить и в форме утверждения µ §5, 2, 3µ §+.

5. Отношение, связанное с операцией извлечения кубического корня

из действительных чисел: {µ §|Xµ §R}. Одним из элементов этого отношения является пара µ §2, 8µ §.

Функция «синус» в тригонометрии определяется посредством правила, по которому каждому действительному числу сопоставляется некоторое действительное число от ЎЄ1 до 1. В практической работе часто используются специально изданные таблицы значений этой функции для различных значений аргумента. Такая таблица служит простым и компактным способом задания множества упорядоченных пар. Таким образом, для практических надобностей функция «синус» задается множеством упорядоченных пар чисел, представленным в виде таблицы (вместе с правилами пользования этой таблицей). Заметим, что такую таблицу можно изобразить в виде совокупности пар вида µ §х, sin X); при этом существен порядок, в котором мы указываем координаты каждой пары. Для произвольного отношения µ § мы истолковываем запись µ § как выражающую тот факт, что а µ § - относится к b; в частности, наличие пары µ § в таблице функции «синус» мы понимаем как сообщение о том, что первая
[40]
координата этой пары синус-относится ко второй координате (вторая координата является синусом первой координаты).

В дальнейшем мы будем широко пользоваться тернарными отношениями; пока же мы интересуемся бинарными отношениями; их мы и будем, если не возникнет опасности путаницы, называть просто «отношениями». Областью определения отношения µ § (обозначение: µ §) мы будем называть множество {х| для некоторого у, µ §} областью значений отношения µ § (обозначение: µ §) ЎЄ множество {у| для некоторого X, µ §}. Иными словами, область определения отношения µ § ЎЄ это множество первых координат элементов из µ §, а область значений отношения µ § ЎЄ множество вторых координат элементов из µ §. Например, как областью определения, так и областью значений отношения включения, для подмножеств множества U является множество P (U), а, скажем, областью определения для отношения материнства служит множество всех матерей, в то время как область значений этого отношения ЎЄ множество всех людей18. Один из простейших типов отношений ЎЄ это множество всех таких пар µ §, что х есть элемент некоторого фиксированного множества X, а у ЎЄ элемент некоторого фиксированного множества Y. Это отношение называется прямым19 произведением множеств X и Y и обозначается через Хµ §Y. Таким образом,


Xµ §Y = {µ §| Xµ §X и Yµ §Y}.
Очевидно, каждое отношение µ § есть подмножество некоторого прямого произведения Хµ §Y, такого, что Хµ §µ §, и Yµ §µ §. Если µ § ЎЄ такое отношение, что µ §µ §Хµ §Y, то говорят, что µ § есть отношение от X к Y. Если µ § ЎЄ отношение от X к Y и Zµ §Xµ §Y, то µ § есть отношение от Z к Z. Отношения от Z к Z называют отношениями в Z.

Выражения «отношение от X к Y» и «отношение в Z» исходят из возможного применения понятия отношения к задаче отличения одних упорядоченных пар от других. Если X есть какое-то множество, то Хµ §X есть некоторое отношение в X, которое мы назовем универсальным отношением в X; название это оправдывается тем, что для каждой пары х, у элементов из X имеет место х(Хµ §X)у. Другим крайним примером служит пустое отношение в X, совпадающее с пустым множеством. Промежуточное положение занимает тождественное отношение в X, обозначаемое через µ § или µ §:{µ §| µ §}. Очевидно, для любых х и у из X µ § равносильно х = у.


[41]
Если µ § ЎЄотношение, а А ЎЄ множество, то µ § [А] определяется как {у| для некоторого х из А хµ §у}. Это множество естественно называть множеством µ §-образов элементов множества А. Разумеется, µ § [µ §] = µ § и для произвольного множества А µ § [А] µ § µ §.
Примеры В
1. Если У Ѓ‚ x , то µ § = X, и если X µ §Ѓ‚ x , то µ § = Y.

2. Аналитическая геометрия плоскости основывается на допущении о возможности попарного соответствия между точками евклидовой плоскости и элементами множества µ § ЎЄ множества упорядоченных пар действительных чисел. Таким образом, изучение геометрических конфигураций может быть сведено к изучению некоторых подмножеств множества µ §, т. е. отношений в R. Естественно ожидать, что для представляющих наибольший интерес геометрических конфигураций определяющими свойствами соответствующих им отношений в R будут служить алгебраические уравнения относительно х и у, неравенства, содержащие х и у, а также некоторые комбинации таких уравнений и неравенств. В таких случаях определяющее свойство отношения, связанного с какой-либо конфигурацией, относят обычно в качестве описания к самой этой конфигурации, а об отношении явным образом и не упоминают. Например, «прямая с уравнением у = 2х+1 есть сокращение для «множество точек, соответствующих множеству {µ §µ §µ §|y = 2x+1}».. Аналогично «область, для которой у < x» ЎЄ это множество точек, соответствующих множеству {µ §µ §µ §|y < х}. Еще пример: соотношения


xµ §ЎЬ 0, y ЎЭ 0 и y ЎЬ 2x+1,

как легко проверит читатель, служат определением для некоторой плоской треугольной области.

Если основным предметом изучения служат не множества точек на плоскости, а сами по себе отношения в R, то множество точек, соответствующих элементам отношения, называют графиком этого отношения (или графиком его определяющего свойства). Ниже (на рис. 7ЎЄ10) приводятся четыре примера отношений, для каждого из которых схематически представлен его график. В тех случаях, когда график является частью плоскости, эта часть плоскости на чертеже заштриховывается.

Если µ § есть отношение в R с определяющим свойством 0 ЎЬ х ЎЬ 2, а µ § ЎЄ отношение в R с определяющим свойством 0 ЎЬ у ЎЬ 1, то отношение, иллюстрируемое рисунком 9, есть µ §µ §µ §, a отношение, иллюстрируемое рисунком 10, ЎЄ µ §µ §µ §. Таким образом, рисунки 9 и 10 иллюстрируют то обстоятельство, что график объединения двух отношений µ § и µ § есть


[42]

Рис. 7. Рис. 8.


{µ §µ §µ §| y = x} {µ §µ §µ §| y ЎЭ x}

Рис. 9. Рис. 10.


{µ §µ §µ §| 0 µ §ЎЬ x ЎЬ 2 {µ §µ §µ §| 0ЎЬ x µ §ЎЬ 2

или 0 µ §ЎЬ y ЎЬ 1} и 0ЎЬ y µ §ЎЬ 1}


объединение графиков этих отношений, а график пересечения отношений р и а есть пересечение их графиков.

3. Пусть µ § ЎЄ это отношение «быть отцом». Если A ЎЄмножество всех нынешних жителей Соединенных Штатов, то µ § [A] ЎЄ множество всех людей, чьи отцы проживают в настоящее время в Соединенных Штатах. Если А = {Адам, Ева}, то µ § [A] = {Каин, Авель}.


Упражнения
1. Показать, что если µ § = µ §, то х = и, y = v и z = w.

2. Выписать элементы множества {1, 2}µ §{2, 3, 4}. Каковы область определения и область значений этого отношения? Что представляет собой его график?


[43]
3. Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, после чего постройте их графики:
(a) {µ §µ §µ §| x2 + 4y2 = 1};

(b) {µ §µ §µ §| x2 = y2};

(c) {µ §µ §µ §| x | + 2| y | = 1};

(d) {µ §µ §µ §| x2 + y2 < 1 и x > 0};

(e) {µ §µ §µ §| y ЎЭ 0 и y ЎЬ x, и x +y ЎЬ 1}.
4. Представьте отношение из упражнения 3(с) в виде объединения четырех отношений, а отношение из упражнения 3(е) ЎЄ в виде пересечения трех отношений.

5. Образование прямого произведения двух множеств есть бинарная операция над множествами («прямое умножение»). Покажите на примерах, что эта операция не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

6. Пусть µ § ЎЄ отношение «...есть брат...», а µ § ЎЄ отношение «...есть сестра...». Опишите отношения µ §µ §µ §, µ §µ §µ § и µ § ЎЄ µ §.

7. Пусть µ § и µ § имеют те же значения, что в упражнении 6. Пусть A ЎЄ множество студентов, обучающихся в настоящее время в том же институте, что и читатель. Что представляет собой µ § [A]? (µ §µ §µ §) [A]?

8. Доказать, что для произвольных множеств A, В, С, D (Aµ §В)µ §(Сµ §D) = (Aµ §С) µ § (Вµ §D). Доказать, что прямое умножение множеств дистрибутивно относительно операции пересечения, т. е. что для любых A, В и С (Aµ §В)µ §С = (Aµ §С)µ §(Вµ §С) и Aµ §(Вµ §С) = (Aµ §В)µ §(Аµ §С).

9. Укажите такие четыре множества A, В, С и D, для которых (Aµ §В)µ §(Сµ §D) Ѓ‚ (Aµ §С)µ §(Вµ §D).

10. Несмотря на результат предыдущего упражнения, прямое умножение дистрибутивно относительно операции объединения. Доказать.

11. Исследуйте, дистрибутивны ли объединение и пересечение относительно прямого умножения.

12. Доказать, что для любых непустых множеств A и В и любого множества С из (Aµ §В)µ §(Вµ §А) = Сµ §С следует А = В = С.
1.7. Отношения эквивалентности
Отношение µ § во множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента х из X хµ §х; симметричным, если хµ §у влечет уµ §х; транзитивным, если из хµ §у и yµ §z следует xµ §z. Отношения, обладающие всеми этими свойствами, столь часто встречаются в математике, что им присвоили специальное название. Отношение в некотором множестве назы-
[44]
вается отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если отношение µ § в X есть отношение эквивалентности, то, очевидно, µ § = X. Вследствие этого отношения эквивалентности в X называют также отношениями эквивалентности на X.
Примеры
Каждое из следующих отношений является отношением эквивалентности на соответствующем множестве:

1. Равенство в произвольной системе множеств.

2. Геометрическое отношение подобия в множестве всех треугольников в евклидовой плоскости.

3. Отношение сравнимости по модулю п в Z. Это отношение определяется для любого не равного нулю целого числа п следующим образом: х сравнимо с у по модулю п, если х - y делится на п; обозначение:

X µ § y (mod n).

4. Отношение ~ в множестве всех упорядоченных пар положительных целых чисел, где µ § ~ µ §, если xv = yu.

5. Отношение параллельности в множестве прямых в евклидовой плоскости.

6. Отношение равночисленности в произвольной системе конечных

множеств.

7 Отношение «проживания в одном доме» в множестве жителей Соединенных Штатов.

Последний из приведенных примеров иллюстрирует на языке повседневной жизни основное свойство любого отношения эквивалентности: это отношение разбивает соответствующее множество на непересекающиеся подмножества, в данном случае ЎЄ на множества людей, живущих в одном доме. Дадим обоснование этого предложения в общем виде. Если µ § есть отношение эквивалентности на множестве X, то подмножество А множества X называется классом эквивалентности (µ §-классом эквивалентности), если существует такой элемент x из A, что А совпадает с множеством всех у, для которых хµ §у. Таким образом, А есть класс эквивалентности тогда и только тогда, когда существует такой х из X, что A = µ § [{x}]. Если насчет самого отношения µ § нет никаких неясностей, то множество µ §-образов элемента х из X сокращенно обозначается через [х] и называется классом эквивалентности, порожденным элементом х. Вот два основных свойства классов эквивалентности:
(I) xµ §[x];

(II) если хµ §у, то [x]=[y].


Первое из этих свойств вытекает из рефлексивности отношения эквивалентности. Чтобы доказать второе свойство, допустим, что хµ §у;
[45]
тогда [y]µ §[х]; в самом деле, из zµ §[у] (что означает уµ §z) и хµ §у в силу транзитивности отношения µ § вытекает xµ §z, т. е. zµ §[x]. Симметричность отношения µ § позволяет доказать обратное включение [х]µ §[y], из чего уже следует равенство классов [х] и [у].

Из свойства (I) вытекает, что каждый элемент множества X принадлежит некоторому классу эквивалентности, а из (II) ЎЄ что два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, так как, если zµ §[х] и zµ §[у], то [х] = [z] и [y] = [z]. Следовательно, [х] = [y]. Вспоминая определение разбиения непустого множества, мы получаем, что совокупность различных µ §-классов эквивалентности является разбиением множества X.


[49]
1.8. Функции
Понятие функции мы можем определить в терминах уже введенных ранее понятий. Это определение исходит из известного по многим учебникам обсуждения понятия функции, согласно которому график функции есть множество упорядоченных пар. Поскольку ясно, что любая информация о функции может быть извлечена из ее графика, то нет никакой надобности различать функцию и ее график. Поэтому при определении функции имеет смысл исходить из таких характеристик множества упорядоченных пар, которые специфичны именно для графиков функций. Это достигается посредством соглашения, по которому функция есть такое отношение, никакие два различных элемента которого не имеют одинаковых первых координат. Таким образом, µ §f тогда и только тогда является функцией, когда оно удовлетворяет следующим требованиям:
(I) элементами f являются упорядоченные пары;

(II) если µ § и µ § суть элементы f, то y = z.


[50]
Примеры А
1. {µ §, µ §, µ §Рузвельт, Черчилльµ §} есть функция с областью определения {1, 2, Рузвельт} и областью значений {2, Черчилль}.

2. Отношение {µ §, µ §, µ §} не является функцией, так как различные элементы µ § и µ § имеют одинаковую первую координату.

3. Отношение {µ §| xµ §R} есть функция, так как если х = и, то x2+x+1 = u2+u+1.

4. Отношение {µ §| xµ §R} не является функцией, так как его элементами являются как µ § так и µ §.

Слово «функция» имеет многочисленные синонимы, в частности: преобразование, отображение, соответствие, оператор20. Если f ЎЄ функция и µ §µ §f, так что xfy, то х есть аргумент функции f. Для обозначения у в этом случае терминология весьма разноречива; например, у называют значением функции f на х, образом элемента х при f, элементом, в который f переводит х. Для обозначения у также употребляют различные символы: xf, f(х) (или еще проще fx), xf . Обозначение f (x) можно рассматривать как сокращение для f[{x}] ЎЄ множества f-образов элемента х. В этих терминах характеристическое свойство функций, выделяющее их среди отношений вообще, можно сформулировать следующим образом: каждый элемент области определения имеет единственный образ.

Читатель должен привыкнуть ориентироваться в этих обозначениях функции, так как в разных книгах он будет встречать различные символы и названия. Определения и теоремы, относящиеся к функциям, в этой книге всюду будут формулироваться в обозначениях f(х) или fx для (единственного) элемента, соответствующего элементу х в функции f. С этим хорошо согласуется также обозначение f[A] для множества {у | для некоторого х из А µ §µ §f}. Впрочем, в приложениях понятия функции мы будем пользоваться различными обозначениями. Когда вместо f(x) нам будет удобнее применить обозначение xf, тогда естественно и вместо f [А] писать [А]f. Если же вместо f(x) мы будем писать хf, то в этих местах вместо f[А] будет использоваться обозначение [Af] или Аf.

Поскольку функции являются множествами, к ним применимо обычное определение равенства: две функции f и g равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Очевидно, что то же самое можно сказать и другими словами: f = g тогда и только
[51]
тогда, когда Df = Dg и f(x) = g(x) для любого х из общей области определения. Следовательно, функцию можно определить, указав область ее определения и задав значения функции для каждого элемента области определения. Мы видим, таким образом, что вторая часть определений такого рода имеет вид некоторого правила. Например, одно из возможных определений функции {µ § | µ §} таково: функция f с областью определения R такова, что f(х) = х2+x+1. Когда функция задается указанием на ее область определения и заданием ее значений для каждого элемента этой области, область ее значений может быть вовсе не очевидна. В приведенном только что примере, чтобы прийти к заключению, что Rf = {µ §| x ЎЭ µ §}, надо проделать некоторые вычисления. С другой стороны, то обстоятельство, что в этом случае µ §, едва ли не очевидно. Вообще, при точном определении области значений мы сталкиваемся с определенными трудностями, но указать некоторое множество, включающее в себя область значений, обычно удается без труда. В связи с этим представляется разумным принять следующую терминологию. Функция f есть функция со значениями21 в Y, если область значений функции f есть подмножество множества Y, и функция f есть функция со значениями на Y, если Rf = Y. Вводя аналогичные терминологические соглашения для области определения функции, мы будем говорить, что f определена на X, если X есть область определения функции f. Желая сказать, что f есть функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, обычно пользуются символикой
f: X Ўж Y, или X µ § Y.
Множество всех функций, определенных на X со значениями в Y, есть подмножество множества P (µ §) обозначим это подмножество через YX. Если X пусто, то YX состоит всего лишь из одного элемента, а именно из пустого подмножества множества Xµ §Y. Это единственное подмножество множества Xµ §Y, так как последнее само пусто, если пусто X. Если Y пусто, а X непусто, YX пусто.

Если f: X Ўж Y и Аµ §Х, то fµ §(Аµ §Y) есть функция, определенная на А со значениями в Y (эту функцию называют сужением функции f на множество А и обозначают через f |A). Подробнее: f |A есть функция, определенная на A и такая, что (f | A) (a) = f (а) для любого а, принадлежащего множеству А. Функция g является сужением функции f


[52]
на некоторое подмножество области определения функции f тогда и только тогда, когда область определения функции g есть подмножество области определения функции f и для xµ §Dg g(x) = f(x); иначе говоря, gµ §f. В дополнение к определению сужения назовем функцию f продолжением функции g, если gµ §f. В качестве примера, иллюстрирующего понятие продолжения функции, мы обратимся к описанному выше отношению тождества µ §X в X. Очевидно, это отношение является функцией; поэтому, в соответствии с принятыми нами обозначениями функций посредством малых латинских букв, мы обозначим это отношение через µ § или µ §X. Назовем µ §X тождественным отображением на X. Если Aµ §Х, то µ §X|A = µ §A. Если µ §X|A рассматривается как функция, определенная на А со значениями в X, то это ЎЄ инъективное отображение множества А в X.

Функция называется взаимно-однозначной, если она переводит различные элементы в различные. Иначе говоря, функция f тогда и только тогда взаимно - однозначна, когда


х1 Ѓ‚ х2 влечет f(xl) Ѓ‚ f(x2).
Взаимно - однозначность функции иногда удобнее доказывать, рассматривая контрапозицию к написанному выше:
f(x1) = f(x2) влечет х1 = х2.
Например, функция f на R такая, что f(x) = 2x + 1, взаимно-однозначна, так как 2х1+1 = 2х2+1 влечет х1 = х2.

Взаимно-однозначная функция f, определенная на X со значениями на Y, образует пары из элементов множеств X и Y; именно, в каждую пару входит f(x) из Y вместе с соответствующим х из X. В самом деле, поскольку f есть функция, f(x) есть однозначно определенный элемент множества Y; поскольку f принимает значения на Y, каждое у сопоставляется некоторому х; поскольку, наконец, f взаимно-однозначна, каждое у сопоставляется единственному х. Ввиду полной симметричности картины, возникающей при взаимно-однозначном отображении множества X на Y, его часто называют взаимно-однозначным соответствием между X и Y. Если два множества связаны между собой такой функцией, то говорят, что они находятся во взаимно-однозначном соответствии.


Примеры В
1. Хорошо известная читателю показательная функция есть функция, определенная на R со значениями в R; символически:
f: R Ўж R, где f(x) = eX.
[53]
Мы можем также сказать более точно, что f есть функция, определенная на R со значениями на R+. Вообще, если f: X Ўж Y, то f ЎЄ функция, определенная на X со значениями на f [X], т. е. на области значении функции f.

2. {a, b, c}{1, 2} есть множество всех функций, определенных на {1,2} со значениями в {а, b, с}. Один из элементов этого множества ЎЄ {µ §}.

3. Если А и В ЎЄ множества, имеющие одинаковое число элементов, то они, очевидно, находятся во взаимно-однозначном соответствии22. Тогда, как легко показать, для любого множества X множества Ах и Вх находятся во взаимно-однозначном соответствии. В соответствии с этим множество всех функций, определенных на некотором множестве X со значениями в произвольном множестве, состоящем из п элементов, обозначают обычно через пх. Так, 2х обозначает множество всех функций, определенных на X со значениями в множестве из двух элементов, в качестве какового обычно берут множество {0, 1}. Если Aµ §X, то один из элементов множества 2х есть функция µ §, определяемая следующим образом:
µ §(x) = 1, если хµ §А, и µ §(х) = 0, если хµ §ХЎЄА.
Мы будем называть µ § характеристической функцией множества А. Рассмотрим теперь функцию f, определенную на P (X) со значениями в 2х, взяв в качестве образа подмножества А множества X [А является элементом множества P (X)] характеристическую функцию этого подмножества А (являющуюся элементом множества 2х). В качестве упражнения предлагаем доказать, что f есть взаимно-однозначное соответствие между P (Х) и 2х. В силу этого взаимно-однозначного соответствия множества P (Х) и 2х обычно просто отождествляют, свободно заменяя в рассуждениях одно из этих множеств другим, если это удобно по каким-либо соображениям.
[61]
§ 1.10. Отношения порядка

В этом параграфе мы определим несколько видов отношений, прообразом которых служит интуитивное понятие отношения порядка (предшествования ЎЄ следования), т. е. такого отношения µ §, что в соответст-


[62]
вующем множестве X для некоторых пар его различных элементов х и у имеет место хµ §у, но не уµ §х. В этом случае при помощи отношения µ § можно решить, в каком порядке поставить эти элементы: х, у, а не у, х, так как имеет место хµ §у, но не уµ §х. Из такого рода отношений для множества действительных чисел хорошо известны отношения <, ЎЬ, > и ЎЭ. Аналогичную роль для систем множеств играют отношения µ § и µ §.

Первый тип отношений порядка, который мы сейчас рассмотрим, будет характеризоваться основными свойствами, общими для упомянутых выше отношений ЎЬ для чисел и µ § для множеств. Предварительно мы введем одно понятие: отношение µ § во множестве X будет называться антисимметричным, если для любых элементов х и у множества A из одновременной истинности хµ §у и уµ §х следует х = у. Частичным упорядочением, или отношением частичного порядка, во множестве X мы будем называть рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в X. Поскольку можно пожелать рассматривать частичное упорядочение в X относительно некоторого другого, отличного от X множества (например, обычное упорядочение в Z относительно множества четных чисел), удобно ввести еще одно определение: отношение µ § частично упорядочивает множество Y, если µ §µ §(Yµ §Y) есть частичное упорядочение в Y. Отношение µ §µ §(Yµ §Y) есть «сужение» отношения µ § на множество Y в том смысле, что оно исключает из рассмотрения те упорядоченные пары, у которых хотя бы одна из координат не есть элемент множества Y.


Примеры.
1. Отношение «является целым кратным» в Z+ есть частичное упорядочение.

2. Иерархия или схема организации в торговой фирме определяется частичным упорядочением в некотором множестве должностей.

3. Если µ § есть частичное упорядочение в X, то µ §µ §(Аµ §А) частично упорядочивает подмножество А множество X.

4. Для любого отношения µ § обратным к нему называется такое отношение µ §, что уµ §х равносильно хµ §у. Если µ § есть частичное упорядочение, то µ § также есть частичное упорядочение.

5. Любое рефлексивное и транзитивное отношение называется предупорядочением. Такого рода отношение может обладать тем неудобством, что при попытке упорядочить с его помощью какое-либо множество это отношение не позволяет «различать» некоторые пары различных объектов х, у ЎЄ в том смысле, что будет иметь место как хµ §у, так и уµ §х. Например, пусть для некоторого множества людей w будет функцией веса.
[63]
а А ЎЄ функцией роста, т.е. w(x) и h(x) будут, соответственно, означать вес и рост некоторого индивида х. В таком случае отношение µ § такое, что хµ §у равносильно w(х) ЎЬ w (y) и h(x) ЎЭ h(у), будет предупорядочением, но не частичным упорядочением, если найдутся два индивида, имеющие одинаковый вес и одинаковый рост.

Если µ § есть предупорядочение множества X, то это отношение определяет частичное упорядочение, в некотором разбнении множества X (согласно упражнению 10 из § 1.7). Во-первых, утверждается, что отношение ~, для которого х ~ у равносильно по определению хµ §у и уµ §х, является отношением эквивалентности. Во-вторых, устанавливается, что отношение µ §', для которого [x] µ §' [y], если хµ §у, является частичным упорядочением, областью определения которого служит соответствующее множество классов эквивалентности [x]. Окончательно можно сказать, что если µ § есть предупорядочение в некотором множестве X, то оно является частичным упорядочением в множестве, получающемся из X в результате идентификации элементов, не различимых с помощью отношения µ §.

Сказанное хорошо иллюстрируется следующим примером: в качестве о берется отношение во множестве комплексных чисел такое, что zµ §w, если действительная часть числа z меньше или равна действительной части числа w.

Следуя традиции, мы будем обозначать частичные упорядочения символом ЎЬ. Если отношение ЎЬ частично упорядочивает множество X, а х и у суть элементы множества X, то соотношение х ЎЬ у может иметь или не иметь места. Аналогично, если х ЎЬ у и х Ѓ‚ у, мы будем писать просто х < у и говорить, что х меньше, чем у, или х предшествует у, или у больше, чем х. Мы будем также использовать, если это нам почему-либо окажется удобным, записи у ЎЭ х и у > х в качестве альтернативы для х ЎЬ у и х < у соответственно.

Отношение µ § во множестве X является, по определению, иррефлексивным, если ни для какого х из X не имеет места хµ §х. Если ЎЬ ЎЄ частичное упорядочение в X, то < ЎЄ иррефлексивно и транзитивно в X. Обратно, исходя из иррефлексивного и транзитивного отношения < в X и полагая х ЎЬ у, по определению, равносильным х < у или х = у, мы приходим к частичному упорядочению ЎЬ в X. Доказательства этих фактов мы предоставляем читателю. Получение < из ЎЬ, и наоборот, может быть проиллюстрировано на примере определения строгого включения множеств в терминах включения и наоборот. Если ЎЬ частично упорядочивает конечное множество X, то отношение < можно описать посредством следующего понятия. Элемент у множества X, по определе-
[64]
нию, покрывает элемент х, если х<у и не существует такого и, что х<и<у. Если х<у, то, очевидно, можно найти такие элементы множества Х: х1, х2, .., хп, что х = х1<х2<...<хn = у, причем каждое хi+1 покрывает xi. Обратно, из существования такой цепочки следует x < y.

Отношение µ § есть простое (или линейное) упорядочение, если оно является частичным упорядочением и, каковы бы ни были различные элементы х и у области определения (совпадающей с областью значений) отношения µ §, непременно имеет место либо хµ §у, либо уµ §х. Отношение µ § просто упорядочивает множество Y, если µ §µ §(Xµ §Y) есть простое упорядочение в Y. Обычное упорядочение действительных чисел по величине есть типичный пример простого упорядочения. В противоположность этому включение множеств не является, вообще говоря, простым упорядочением.

Нечего и говорить, что отношения порядка применяются для установления порядка в различных множествах. На практике отношение порядка для какого-либо данного множества X задается обычно постулированием или доказательством некоторых структурных характеристик множества X. Иными словами, определенные особенности строения множества X, например существование операции или отображения какого-либо специального типа, позволяют определить для X отношение порядка; пример такого рода будет приведен в упражнениях к этому параграфу. Свойства такого отношения порядка могут оказаться полезными для выяснения и описания дальнейших характеристик множества X. Поэтому удобно располагать специальной терминологией, приспособленной в первую очередь именно к множествам, а не к отношениям порядка в них. Частично упорядоченное множество есть упорядоченная пара µ §, где отношение ЎЬ частично упорядочивает множество Х. Просто упорядоченное множество, или цепь, ЎЄ это упорядоченная пара µ §, где ЎЬ просто упорядочивает множество X. Например, если µ §F есть некоторая система множеств, то µ §Fµ §µ § есть частично упорядоченное множество. Если, далее, ЎЬ есть обычное упорядочение целых чисел, то µ § есть цепь. С точки зрения теории множеств более экономно рассматривать отношения порядка, а не упорядоченные множества (т. е. множества вместе с упорядочивающими их отношениями). Если, скажем, µ § есть какое-то частично упорядоченное множество, то ЎЬ µ §(Хµ §Х) есть частичное упорядочение в X. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать X и отношение ЎЬ, частично упорядочивающее X, нам достаточно рассматривать лишь само отношение порядка ЎЬ µ §(Хµ §Х), поскольку оно полностью определяет X как область своего определения. Иначе говоря, для любого предложения об упорядоченных множествах можно
[65]
указать эквивалентное ему предложение об отношениях порядка и обратно.

В качестве иллюстрации предыдущего замечания мы переформулируем данное нами ранее описание отношения < для конечного множества X, частично упорядоченного отношением ЎЬ. Пусть µ § есть конечное частично упорядоченное множество; тогда x

схема 1.
На первой схеме представлена цепь, состоящая из пяти элементов. Ясно, что схема любой цепи имеет такой вид. На последней схеме изображено множество - степень трехэлементного множества, частично упорядоченное посредством отношения включения; точка, расположенная на самом низком уровне, изображает пустое подмножество, точки, расположенные на следующем (втором снизу) уровне, ЎЄ одноэлементные подмножества и т. д. Такие схемы используются не только для того, чтобы изображать уже заданные каким-либо образом частично упорядоченные множества, представляя в наглядном виде упорядочивающие их отношения; их можно использовать и для задания частично упорядоченных множеств ЎЄ отношение порядка в этом случае, по определению, есть отношение, связывающее элементы, изображаемые точками, соединенными восходящими ломаными.

Перед тем как ввести еще одно определение, относящееся к понятию частично упорядоченного множества, нам будет полезно обсудить предварительно один пример. Множество {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, элементы


[66]
которого суть делители числа 30, частично упорядочено отношением µ §ЎЬ, где, по определению, x ЎЬ y, если у кратно х. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что схема этого частично упорядоченного множества совпадает с последней из приведенных выше схем, изображающей множество-степень трехэлементного множества, частично упорядоченное отношением включения. Сами эти множества (множество - степень трехэлементного множества и множество делителей числа 30), разумеется, различны, но рассматриваемые с точки зрения их структуры ЎЄ именно как частично упорядоченные множества ЎЄ они неразличимы. Именно поэтому-то их схемы и совпадают. Этот тип отношений между двумя частично упорядоченными множествами заслуживает особого внимания, поскольку любому свойству каждого из таких множеств, формулируемому исключительно в терминах упорядочивающего его отношения, соответствует совершенно аналогичное свойство другого множества. Поэтому мы хотим выразить такого рода «неразличимость» в точных формальных терминах. Тождество изображающих такого рода множества схем означает, прежде всего, наличие некоторого соответствия, связывающего попарно элементы этих множеств. Это обстоятельство может быть описано как существование взаимно - однозначного соответствия, что, кстати, удобно еще и тем, что мы не обязаны ограничиваться рассмотрением лишь конечных множеств. Интересующее нас соответствие между множествами проявляется, далее, и в том, что любое соотношение между какой-либо парой элементов одного из множеств, полностью определяемое его упорядочением, сохраняется и для соответствующей (в смысле упомянутого взаимно-однозначного соответствия) пары элементов другого множества (относительно аналогичного соотношения между членами этой пары, определяемого упорядочением этого второго множества). Точная формулировка рассматриваемого отношения между множествами фиксируется следующим определением. Функция f: XЎжХ' называется сохраняющей порядок (или изотопной) относительно упорядочения ЎЬ множества X и упорядочения ЎЬ' множества X', если х ЎЬ у влечет f (x) ЎЬ' f (у). Теперь обсуждаемое нами подобие множеств можно описать как существование такого взаимно - однозначного соответствия, что оно само и обратное к нему сохраняют порядок. В этой связи принято пользоваться следующей терминологией. Изоморфизм между частично упорядоченными множествами µ § и µ § есть взаимно - однозначное соответствие между X и X' такое, что как оно, так и обратное к нему сохраняют порядок23. Если такое соответствие существует, то одно из этих частично упорядоченных множеств называют изоморфным образом другого, или
[67]
говорят просто, что эти частично упорядоченные множества изоморфны. Таким образом, отношение «подобия», которое, как мы видели, имеет место между множеством всех подмножеств трехэлементного множества и множеством всех делителей числа 30, рассматриваемыми вместе с частичными упорядочениями этих множеств, можно описать, сказав, что эти множества суть изоморфные частично упорядоченные множества.

Когда выше мы определили понятие частично упорядоченного множества, было отмечено, что типичным примером этого понятия является система множеств, частично упорядоченная включением. Конечно, это было сказано довольно-таки приблизительно ЎЄ ведь смысл слова «типичный» имеет так много разных оттенков. Одно из возможных уточнений может быть дано в виде следующего важного утверждения: каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторой системе множеств, частично упорядоченной включением.


[68]
В заключение этого параграфа мы введем еще несколько определений, относящихся к частично упорядоченным множествам, которые нам впоследствии понадобятся. Наименьшим элементом множества X относительно частичного упорядочения ЎЬ мы будем называть такой элемент у множества X, что для всех х из X верно y ЎЬ х: Если такой элемент существует, то он единствен; поэтому, говоря о наименьшем элементе какого-либо множества, имеют в виду вполне определенный его элемент. Минимальным элементом множества X относительно частичного упорядочения ЎЬ называют такой, его элемент у, что ни для одного Xµ §X не имеет места x < y. Минимальный элемент может быть и не единственным, как это видно, например, из второй из приведенных выше (стр. 65) схем частично упорядоченных множеств. Наибольшим элементом множества X относительно ЎЬ называют такой уµ §Х, что для любого хµ §X х ЎЬ у. Наибольший элемент, если таковой существует, единствен, так что и в этом случае можно говорить о вполне определенном наибольшем элементе. Максимальным элементом множества X относительно ЎЬ называют такой уµ §Х, что ни для какого хµ §Х не верно х > у.

Частично упорядоченное множество µ § называется вполне упорядоченным, если каждое непустое подмножество множества X имеет наименьший элемент. Хорошо знакомым всем примером вполне упорядоченного множества является множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченное естественным образом. Каждое вполне упорядоченное множество µ § является цепью, так как для любых двух различных элементов х, у множества X множество {х, у} должно иметь наименьший элемент; следовательно, имеет место либо х < у, либо y <х.

Если µ § есть частично упорядоченное множество и Aµ §X, то элемент хµ §X называется верхней границей множества А, если для любого аµ §А имеет место а ЎЬ х. Аналогично, элемент хµ §Х называется нижней границей множества А, если для любого аµ §A x ЎЬ а. Множество может иметь много верхних границ. Элемент хµ §Х называется наименьшей верхней границей, или супремумом, множества А (в символах: sup A), если х есть верхняя граница множества А и для всех верхних границ у множества А имеет место х ЎЬ у. Иными словами, наименьшая верхняя граница есть верхняя граница, являющаяся нижней границей множества всех верхних границ. Элемент хµ §Х называется наибольшей нижней границей, или инфимумом, множества А (в символах: inf А), если х есть нижняя граница множества А и для любой нижней границы у множества А верно х ЎЭ у. Легко видеть, что если множество А имеет наименьшую верхнюю границу, то она единственна; аналогично ЎЄ для наибольшей нижней границы.
[69]
Упражнения
1. Доказать, что если µ § есть отношение частичного порядка, то обратное отношение µ §также является отношением частичного порядка.

2. На множестве всех непрерывных функций, определенных на множестве неотрицательных действительных чисел и принимающих действительные значения, f = O(g), по определению, означает: существуют такие положительные константы М и N, что для всех x > N f (x) ЎЬ Mg(x). Показать, что определенное таким образом отношение является предупорядочением и определить соответствующее отношение эквивалентности.

3. Пусть ЎЬ есть частичное упорядочение множества X; доказать: < иррефлексивно и транзитивно в X. Пусть, обратно, < ЎЄ отношение, иррефлексивное и транзитивное в X; доказать: отношение ЎЬ такое, что х ЎЬ у равносильно х < у или х = y, есть частичное упорядочение в X.

4. Для каких множеств А µ §P (A), µ §µ § является линейно упорядоченным множеством?

5. Пусть µ § и µ § ЎЄ частично упорядоченные множества. Показать, что множество Хµ §Х' частично упорядочено отношением µ §, где µ § µ § µ §, по определению, равносильно х ЎЬ у и х' µ §' у'. Частично упорядоченное множество µ § называют (прямым) произведением данных частично упорядоченных множеств.

6. Двойственным к частично упорядоченному множеству µ § называют частично упорядоченное множество µ § (см. упражнение 1). Пусть µ § ЎЄ частично упорядоченное множество, а, bµ §Х и а ЎЬ b; множество всех таких хµ §Х, что а ЎЬ х ЎЬ b, называют отрезком (замкнутым интервалом) [а, b]. Показать, что множество отрезков частично упорядоченного множества µ §, частично упорядоченное включением, изоморфно некоторому подмножеству произведения частично упорядоченного множества µ § и двойственного к нему.


[71]

страница 1 страница 2 страница 3 страница 4
скачать файл

Смотрите также:
Перевод с англ. Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина
1734.34kb. 4 стр.

Кентавр: Роман/ Дж. Апдайк, Пер с англ. В. Хинкиса. Герцог: Роман/ С. Беллоу; Пер с англ. В. А. Харитонова. М.: Ооо ''Издательство аст'': нф ''Пушкинская библиотека'', 2003. 654 с
127.67kb. 1 стр.

Карл Роджерс
3310.08kb. 13 стр.

© kabobo.ru, 2017